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論文

(1993, Sep.) →掲載先	Cahn-Hilliard 方程式の差分法による数値的解析 降旗 大介, 恩田 智彦, 森 正武, 日本応用数理学会論文誌, Vol.3,No.3(1993, Sep.), 217--228. 非線形偏微分方程式の数値計算に対して、新しい非線形安定性概念を提案して、数値計算を行なったもの。 少なくとも Cahn-Hilliard 方程式には有効だったし，非線形性の強い問題ほど有効な結構強力な方法だと思う. 数学的な根拠づけが弱いので，それが課題かな. 基本的に修論の内容。 実用性は買えそうなので、やることがなくなった時にでもやり直したいな〜 と頭の片隅に宿題のように意識されている(^-^). 誰か他の人がやってもいいので，どなたかチャレンジされてみます? 今だと local-Fourier なんて怪しげなことをいわないで、wavelet にしてしまえばきれいになるような気がするし。 何故か別刷はあと5, 6部しかない。引越しの際にどこかへいってしまったんだろうか?
(1996, Apr.) →掲載先	A Stable Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation Based on a Lyapunov Functional D. Furihata and M. Mori, Z. angew. Math. Mech., Vol.76,(1996, Apr.) S1, 405--406. Cahn-Hilliard方程式の保存量(この場合はエネルギー) をきちんと保存するように差分スキームを作ると、絶対安定な差分スキームができるよ という話。 ここではエネルギー関数を Lyapunov functional とよんでいる。 エネルギーを保存すること自体はもっと大きな枠組で話ができることが実は後でわかるけど、 この論文ではそこまで書いてない。 絶対安定性はエネルギー関数の形に依存するので、もうちょっと小さい枠組の話になる。 どっちにしろ、2ページしかないので、そんなに書き込めないって。 なお，これは ICIAM95 (Hamburg, Germany, July 3-7, 1995) に参加したときの報告書でもある(査読つき)。
(1998, Sep.) →掲載先	偏微分方程式に対する差分スキームの離散的変分による統一的導出 降旗 大介, 森 正武, 日本応用数理学会論文誌, Vol.8,No.3(1998,Sep.), 317--340. ut = (∂/∂ x)m(δG/δu) という形の偏微分方程式に対する差分スキームを作成する話。 この形の方程式は、境界条件によっては質量保存とエネルギー(保存|散逸) という二つの性質を持つのだが、これを厳密に再現するスキームが機械的に作れるということを示した。 応用例としては、Cahn-Hilliard方程式や KdV方程式とか、 Swift-Hohenberg方程式とか、探せば探すだけ出てくるという…
(1999, Nov.) →掲載先	Finite difference schemes for that inherit energy conservation or dissipation property. D. Furihata, J. Comput. Phys., Vol.156,No.1(1999,Nov.), 181--205. おおまかな内容は上の論文と同様といえるけど， 上のものが概念の紹介を目的としてわかりやすさ重視， こちらは理論的一貫性を目的として数学的な厳密性を重視 というところが違い. (もちろん，上は日本語でこちらは英語というのも違うけど) 上を読んでストーリーを把握してから， 様々な細かい部分や，証明等の理論的な疑問がある部分はこちらを読むというのがもっとも早いか. それにしても，JCP は投稿した後も反応が早いし，それに対応して revise した後も反応が早い. う〜む. → RIMS プレプリント(No.1212)あり．入手可能.
(2001,Feb.) →掲載先	A Stable and Conservative Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation D. Furihata, Numer. Math., Vol.87,No.4(2001,Feb.), 675--699. Cahn-Hilliard 方程式に対して上の方法を適用して導出した新しい差分スキームについて述べた論文. 陰的かつ非線型なスキームだが，数値安定性(より正確には数値解の有界性)， 解の一意存在性，収束性について全て証明できる，まれなスキームであることが「うり」. 数値計算例も載せてあるので，実用性も問題なし. ちなみに，解が存在するならば，安定性は無条件に成り立つ. 全体に，このおいしさは，上の方法によってエネルギー積分が減少する性質が厳密に再現できる ということによってもたらされる.
(2001, Aug. 10) →掲載先	Dissipative or Conservative Finite Difference Schemes for Complex-Valued Nonlinear Partial Differential Equations Takayasu Matsuo and Daisuke Furihata, Journal of Computational Physics, Vol.171, No. 2(2001,Aug.), 425--447. 変分導関数法が複素偏微分方程式にも適用できるという話． i ut = - δG/δû もしくは ut = - δG/δû という形の偏微分方程式に対して， 変分導関数法を用いると，前者にはエネルギー保存が， 後者にはエネルギー減少が差分スキームにおいて保証できる． (ただし，û は u の複素共役) 具体例としては，前者には Nonlinear Schrödinger 方程式があり， 後者には実係数 Ginzburg-Landau 方程式と Newell-Whitehead 方程式があげられる． 実際に適用して差分スキームを作ってみると，Nonlinear Schrödinger 方程式に対しては Delfour et al(J. Comput. Phys., 44, 277(1981)) のものと同じものが導出できる(もちろん他の形の差分スキームも導出可能)． 実係数 Ginzburg-Landau 方程式と Newell-Whitehead 方程式に対しては， 既存の研究で該当する差分スキームはない模様． 数値実験をしてみたところ，とりあえず Runge-Kutta 法よりはずっといい結果が得られる． あと，上の多段階線形化についても論文の後半で少し解説している． とはいえ，多段階線形化を併用したときに安定な差分スキームを構成するには 「Ghostのささやき」が必要なことはかわりないが… → RIMS プレプリント(No.1280)あり．入手可能.
(2001, Sep. 1) →掲載先	Finite difference schemes for nonlinear wave equation that inherit energy conservation property. D. Furihata, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol.134, Issue 1-2(2001,Sep.), 35--57. utt = - δG/δu という形の偏微分方程式に対して， エネルギー保存性を厳密に再現する新しい差分スキームを二つ提案. 一つは陰的だが，もう一つは陽的なスキーム. エネルギー保存かつ陽的というのは自分でもやや意外な嬉しい結果. この形の方程式で有名なのは sine-Gordon 方程式を含む非線型 Klein-Gordon 方程式. 調べてみると，非線型 Klein-Gordon 方程式に対する既存のエネルギー保存スキームは全て今回のスキームに包含されていた. あと，Shimoji-Kawai 方程式も応用例の一つとして掲載していて， その数値解と理論解の挙動の違いがちょっと面白い. その背景についてはもうちょっと調べないことには確かなことはいえないけど. → RIMS プレプリント(No.1244)あり．入手可能.
(2002. Oct.) →掲載先	Spatially accurate dissipative or conservative finite difference schemes derived by the discrete variational method T. Matsuo, M. Sugihara, D. Furihata and M. Mori, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Vol.19, No.3(2002, Oct.), 311--330. 離散変分法は最初は空間，時間ともに近似オーダーが 2 次の (特殊な)中心差分をその離散化の基本道具として開発された． この近似オーダーは多くの問題には十分であるものの， 近似オーダーがより高いスキームが欲しいというケースもある． そこで，まずは空間方向の精度を高めるにはどうしたらよいか， というところから解決したのがこの論文である． 基本的には，近似オーダーの高い(空間)1階差分作用素を用意して， それを m 乗することで(空間) m 階微分の近似とする，というものである． # もちろん，この方法は差分としては無駄がある． # しかし，近似オーダーを高くできるならばその無駄を補ってあまりある結果が得られるだろう． これはスペクトル法まで含むため，非常に高い近似オーダー を空間方向には比較的容易に実現できることになる． 離散変分法の開発で難しい点は主として時間方向の問題であるから， 空間方向はこのようにかなり自由度が高い． この論文によって空間方向の離散化手法は好みや問題に応じて選択できるようになった． 論文中に応用例として KdV 方程式と非線型 Schrödinger 方程式があげられている． それらに対して本方法を適用した場合に得られるスキームが示され， さらに NLS に関しては数値実験を行って，本方法が (4次) Runge-Kutta や，2次の離散変分法よりも本質的に良い結果が得られることを実証している．
(2003. Feb.) →掲載先	A Stable, Convergent, Conservative and Linear Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation D. Furihata and T. Matsuo, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Vol.20, No.1(2003, Feb.), 65--85. Cahn-Hilliard 方程式に対して， 変分導関数法の適用と時間ステップの多段階化とを併用することで， 安定で線形(陰的)な差分スキームを作ることに成功した，という論文． しかも，(無条件)数値安定性，収束性，解の一意存在性の全てが厳密に証明できた． 普通，多段階化は数値的不安定性を引き起こすので， 安定性が証明できるということは， このスキームが非常に特異な存在であることを意味する． 工学的にも，計算量が少なくてしかも安定なスキームなので， Cahn-Hilliard 方程式に対する数値解法としてはほぼベストなものであるといいきって良いと思う． # 陽的なスキームで安定なものを構成できればもちろん真にベストであるが， 経験上それは非常に難しいと思う． このスキームを用いて実際に数値計算を行ってみると，Cahn-Hilliard 方程式の解が平衡状態にたどり着く様子が非常に少ない計算量で得られる． これはこの方程式を計算したことがある人にとってはちょっと感動ものかも． 安定だからパラメータにあんまり気を使わなくて良いし，収束証明がついているので メッシュを細かくしていけば真の解に近づくので，使うにも安心． あと，この変分導関数法と多段階線形化の併用という方法論はかなり魅力的だが， 指導原理としては自由度がまだ高すぎる． 多段階化がもたらす不安定性を強力に押さえ込む指導原理が他に欲しいところだ． 無限にある離散化のバリエーションの中からうまい差分スキームを今回選びだせたのは， 「私の Ghost がささやいたから」に他ならない(^-^)． → RIMS プレプリント(No.1271)あり．入手可能.

Proceeding

研究報告等

(1992.03.21)	差分法に対する拡張安定性とその Cahn-Hilliard 方程式への応用, 降旗 大介, 恩田 智彦, 森 正武, 情報処理学会研究報告, 92(1992), No.26, 17--26. 1992.03.21 の第40回数値解析研究会(情報処理学会)の報告書.
(1992) →掲載先	Cahn-Hilliard 方程式の差分法による数値的解法 降旗 大介, 恩田 智彦, 森 正武, 京都大学数理解析研究所講究録, No.812(1992), 67 -- 93.
(1994) →掲載先	差分スキームの構成法の再考 -- 非線形偏微分方程式の安定な数値計算 降旗 大介, 森 正武, 京都大学数理解析研究所講究録, No.880(1994), 96--104.
(1994) →掲載先	加速法とその漸化式表現 降旗 大介, 京都大学数理解析研究所講究録, No.889(1994), 26--36.
(1995) →掲載先	非線形問題の物理的性質を保存する差分スキームについて 降旗 大介, 京都大学数理解析研究所講究録, No.891(1995), 186--195.
(1996) →掲載先	Cahn-Hilliard方程式に対するある差分スキームの安定性と収束性 降旗 大介, 森 正武, 京都大学数理解析研究所講究録, No.944(1996), 235--246.
(1998) →掲載先 →本文入手	Finite difference schemes for that inherit energy conservation or dissipation property D. Furihata, RIMS Preprint, Kyoto University, No.1212(1998).
(1999) →掲載先	時間二階微分項と変分導関数を含む偏微分方程式の差分スキーム 降旗 大介, 京都大学数理解析研究所講究録, No.1084(1999), 193--206.
(1999) →掲載先 →本文入手	Finite difference schemes for nonlinear wave equation that inherit energy conservation property D. Furihata, RIMS Preprint, Kyoto University, No.1244(1999).
(2000) →掲載先 →本文入手	A Stable, Convergent, Conservative and Linear Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation D. Furihata and T. Matsuo, RIMS Preprint, Kyoto University, No.1271(2000).
(2000) →掲載先 →本文入手	Dissipative or Conservative Finite Difference Schemes for Complex-Valued Nonlinear Partial Differential Equations T. Matsuo and D. Furihata, RIMS Preprint, Kyoto University, No.1280(2000).
(2000, Apr.) →掲載先	Linearly Implicit Finite Difference Schemes Derived by the Discrete Variational Method 松尾 宇泰(名大・工学), 杉原 正顯(名大・工学), 降旗 大介(京大・数理研), 森 正武(京大・数理研), 京都大学数理解析研究所講究録, No.1145(2000), 121--129. 偏微分方程式の数値解法とその周辺 (Numerical Solution of Partial Differential Equations and Related Topics) 研究集会報告集 (研究代表者 田端 正久(Masahisa Tabata)) on 1999.11.17〜19 in 京大数理研
(2001, Apr.) →掲載先	連立系に対する離散変分法について 松尾 宇泰(名大・工学), 杉原 正顯(名大・工学), 降旗 大介(京大・数理研), 森 正武(京大・数理研), 京都大学数理解析研究所講究録, No.1198(2001), 128--136. 偏微分方程式の数値解法とその周辺 II (Numerical Solution of Partial Differential Equations and Related Topics II) 研究集会報告集 (研究代表者 中尾 充宏(Mitsuhiro T. Nakao)) on 2000.11.20〜22 in 京大数理研

口頭発表

(1991, Oct.)	Cahn-Hilliard方程式の差分法による数値解法 降旗 大介, 恩田 智彦, 森 正武, 応用数理学会平成３年度年会,
(1991, Nov.)	Cahn-Hilliard方程式の差分法による数値解法 降旗 大介, 恩田 智彦, 森 正武, 京都大学数理解析研究所共同研究集会「Phase transition と最適制御」
(1992.03.21)	Cahn-Hilliard方程式の差分法による数値解法 降旗 大介, 恩田 智彦, 森 正武, 第40回数値解析研究会(情報処理学会) at 統計数理研究所
(1992, Oct.)	Lyapunov関数に基づくCahn-Hilliard方程式の数値的解法 降旗 大介, 恩田 智彦, 森 正武, 応用数理学会平成4年度年会
(1992, Nov. 9-13) →会合報告	A Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation Based on a Lyapunov Functional D. Furihata, T. Onda and M. Mori, International Conference on "Nonlinear Mathematical Problems in Industry" (NLMPI92), いわき明星大学, Iwaki, Fukushima, JAPAN
(1993, Sep.)	非線形偏微分方程式に対する安定な差分スキームの一つの構成法 降旗 大介, 森 正武 阿波ワークショップ'93「第2回先端技術における数理モデル解析」
(1993, Sep.)	微積分近似として実用的な差和分の新しい表現とその応用 降旗 大介, 森 正武 応用数理学会平成5年度年会
(1993, Oct.)	差分スキームの構成法の再考 -- 非線形偏微分方程式の安定な数値計算 降旗 大介, 森 正武, 京都大学数理解析研究所共同研究集会「数値計算アルゴリズムの現状と展望」
(1994, Jan.)	離散演算による非線形拡散・波動方程式差分スキームのポテンシャルからの導出 降旗 大介, 森 正武, 第43回応用力学連合講演会
(1994, Mar.)	非線形偏微分方程式のある安定差分スキーム 降旗 大介, 京都大学数理解析研究所共同研究集会「工学に現れる偏微分方程式の数値解析とその周辺(III)」
(1994, Jul.)	非線形問題の物理的性質を保存する差分スキームについて 降旗 大介, 京都大学数理解析研究所共同研究集会「Nonlinear Mathematical Problems in Industry」
(1994, Jul.)	加速法とその漸化式表現 降旗 大介, 京都大学数理解析研究所短期共同研究「非線形可積分系による応用解析」
(1994, Sep.)	Cahn-Hilliard 方程式のエネルギー散逸を保証する差分スキームの安定性解析 降旗 大介, 杉原 正顯, 森 正武, 応用数理学会平成6年度年会
(1995, Jul. 3-7)	A Stable Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation Based on a Lyapunov Functional D. Furihata and M. Mori, International Congress on Industrial and Applied Mathematicians (ICIAM95), Hamburg, Germany
(1995, Aug.)	ある差分作用素間の離散演算則と差分スキームの構成への応用 降旗 大介, 広島大学理学部数学科研究集会 「偏微分方程式 数値解析の最近の発展(II)」
(1995, Sep.)	周期的境界条件下の Cahn-Hilliard 方程式に対する差分スキームの安定性と収束性 降旗 大介, 阿波ワークショップ'95「第3回先端技術における数理モデル解析」
(1995, Sep.)	統一的な演算離散化による Cahn-Hilliard 方程式差分スキームの安定性と収束性 降旗 大介, 杉原 正顯, 森 正武, 応用数理学会平成7年度年会
(1995, Oct.)	Cahn-Hilliard方程式に対するある差分スキームの安定性と収束性 降旗 大介, 森 正武, 京都大学数理解析研究所共同研究集会 「科学技術における数値計算の理論と応用」,
(1996, Jan.)	非線形偏微分方程式に対するある安定な差分スキームの構成 降旗 大介, 森 正武, 第45回応用力学連合講演会
(1996, Sep.)	Cahn-Hilliard 方程式に対するある陰的差分スキームの解の存在について 降旗 大介, 杉原 正顯, 応用数理学会平成8年度年会
(1996, Oct. 3-5)	Convergence of a Finite Difference Solution for the Cahn-Hilliard equation D. Furihata, JSIAM--SIMAI First Joint Symposium on Flow Problems and Phase Field Models, Anacapri, Italy
(1996, Oct. 3-5)	A Stable Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation, M. Mori and D. Furihata, JSIAM--SIMAI First Joint Symposium on Flow Problems and Phase Field Models, Anacapri, Italy
(1997, Jan.)	相分離問題に対する安定な差分スキーム 降旗 大介, 第46回応用力学連合講演会
(1997, Dec.)	Construction of finite difference schemes that inherit the energy conservation or dissipation property of Finite difference schemes for (α=1,2) 降旗 大介, 第2回地球規模流動現象解明のための計算科学に関する研究会
(1998, Jan.)	エネルギー積分の性質を保存する差分スキーム構成法とその応用 降旗 大介, 第47回応用力学連合講演会
(1998, Aug. 18-27)	Finite Difference Schemes that Inherit the Energy Conservation or Dissipation Property from PDEs D. Furihata, International Congress of Mathematicians (ICM98), Berlin, Germany
(1998, Sep.)	変分導関数を含む偏微分方程式の差分解法 降旗 大介, 応用数理学会平成10年度年会
(1998, Nov.)	時間二階微分項と変分導関数を含む偏微分方程式の差分スキーム 降旗 大介, 八海山セミナー'98「非線形問題-その応用解析と数値解析」
(1998, Nov.)	時間二階微分項と変分導関数を含む偏微分方程式の差分スキーム 降旗 大介, 京都大学数理解析研究所共同研究集会「数値計算における前処理の研究」
(1998, Dec.)	非線形波動方程式のエネルギー保存もしくは運動量保存を再現するスキーム 降旗 大介, 1998年度応用数学合同研究集会
(1999, Jul. 5-9)	Finite difference schemes for nonlinear wave equations that inherit energy conservation or momentum conservation property D. Furihata, International Congress on Industrial and Applied Mathematicians (ICIAM99), Edinburg, Scotland
(1999, Aug., 12-14)	非線形波動方程式のエネルギー保存則を再現する差分スキーム 降旗 大介, 阿波ワークショップ '99 「応用数学の動向」, 徳島大学
(1999,Oct.4-6)	非線形波動方程式のエネルギー保存則を再現する差分スキーム 降旗 大介, 応用数理学会平成11年度年会, 愛媛大学, 松山, 愛媛
(1999, Dec., 2-3)	変分法の離散化による偏微分方程式の数値解析 降旗 大介, 「流体力学と数値解析」研究集会, 東北大学理学部.
(1999, Dec., 20-22)	多点離散変分による非線形偏微分方程式に対する線形陰的差分スキーム 降旗 大介, 松尾 宇泰(名大工計算理工) 1999年度応用数学合同研究集会, 龍谷大学瀬田キャンパス RECホール
(2000, Apr. 26-27)	離散変分導関数を用いた差分法について 降旗 大介, 研究集会「非線形現象の数理とシミュレーション2000」, 富山自遊館, 富山.
(2000, Oct. 6-8(8))	非線型波動方程式に対する差分法 降旗 大介, 応用数理学会平成12年度年会, 東京工業大学, 東京
(2000, Dec., 20-22)	EOM 方程式への離散変分法の適用とその高速化 降旗 大介, 松尾 宇泰(名大計算理工), 杉原 正顯(名大計算理工), 2000年度応用数学合同研究集会, 龍谷大学瀬田キャンパス RECホール.
(2001, June 29)	相分離問題のモデル方程式とその離散化について 降旗 大介, 微分方程式セミナー, 大阪大学理学部.
(2001, Aug. 12--17)	Finite Difference Schemes Defined through Discrete Variational Derivative for Nonlinear Partial Differential Equations, Daisuke Furihata, The Tenth International Colloquium on Numerical Analysis and Computer Science with Applications (ICNACSA), Plovdiv, Bulgaria
(2001, Sep. 17)	偏微分方程式の性質を継承する離散化法(離散変分法)について 降旗 大介, 数学科談話会, 大阪大学理学部.
(2001, Oct. 7--9)	非線形偏微分方程式に対する離散変分法の線形化, 高次化と安定性の関係について 降旗大介(大阪大学), 松尾 宇泰(名古屋大学), 杉原 正顯(名古屋大学) and 森 正武(東京電機大学), 応用数理学会平成 13 年度年会, 九州大学, 福岡
(2001, Dec. 19--21(19))	偏微分方程式に対する時間高次保存・散逸スキームについて 松尾 宇泰(名古屋大学), 杉原 正顯(名古屋大学), 降旗大介(大阪大学) and 森 正武(東京電機大学), 2001年度応用数学合同研究集会, 龍谷大学瀬田キャンパス RECホール.
(2002, Mar. 6)	非線型偏微分方程式のエネルギー則を再現する差分スキームの構成法 降旗大介(大阪大学), 医学数学シンポジウムII, 大阪大学.
(2002, Jul. 4)	離散変分法の理論的詳細 降旗大介(大阪大学), 多元数理解析セミナー, 名古屋大学.
(2002, Aug. 05--09(06))	Finite Difference Schemes for PDE s that Inherit Energy Conservation or Dissipation Property Daisuke Furihata, The Sixth Japan-China Joint Seminar on Numerical Mathematics, Tsukuba, Japan.
(2002, Sep. 19--21(19))	chain-rule 整合性を持つ高次差分と離散変分法 降旗大介(大阪大学), 松尾 宇泰(名古屋大学), 杉原 正顯(名古屋大学) and 森 正武(東京電機大学) 応用数理学会平成14年度年会, 慶應義塾大学, 日吉(矢上キャンパス), 横浜.
(2002, Sep. 26--28(27)) 特別講演	Conservation or Dissipation Property Discretization for Nonlinear PDE 降旗 大介, 日本数学会 2002年度 秋季総合分科会(応用数学分科会), 島根大学, 松江, 島根.
(2002, Oct. 31)	chain-rule 整合性を持つ高次差分 降旗 大介, 杉原セミナー, 名古屋大学 計算理工学専攻.
(2002, Dec. 6)	偏微分方程式の保存則離散化のある方法について 降旗 大介, 解析セミナー, 神戸大学．
(2003, Jul. 07--11)	FDMs defined through discrete variational derivative to inherit integration property Daisuke Furihata, the 5th International Congress on Industrial & Applied Mathematics 2003(ICIAM), Sydney, Australia.
(2003, Sep. 17--19(19))	ポテンシャル論に基づく蛇行流のモデリング 降旗 大介, 日本応用数理学会 2003年度年会, 京都大学．
(2004, Jan. 21)	蛇行流とそのモデリング 降旗 大介, 数理モデルセミナー, 福島大学．
(2004, Sep. 16--18(16))	蛇行流のモデル方程式とその数値計算 降旗 大介, 日本応用数理学会 2004年度年会, 中央大学理工学部, 東京都文京区．

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