さて，授業日程も半分まで来たところで，学生によっては，数学+コンピュータ+Mathematica という三重苦
に消化不良をおこしつつある者もいるだろう．
そこで，この辺りでいったん休息を入れ，これまでの簡単な復習を行おう．
復習問題 … 消化不良をおこしつつある人用
- Sin[x] は x の正弦を与える．
では，y = Sin[x] の式で y が与えられたとき，x の値を求めるにはどうしたらよいか?
?Sin を実行し，その結果をよく調べて考えよ．
→ Help を使いこなす問題．英語が読めない，読むのはいやだ…
というならば「勘」を養う必要がある．
しかし，きちんと英語を学ぶのとハズレるかもしれない勘を養うのと，どちらがましか?
- Sin 関数を計算しようとして，試しに Sin(0) と入力して計算したら
答えが 0 になったので安心して，
Sin(Pi) と入力したらなんか答えがおかしい．
なぜだろうか?
どうしたらいい?
→ よくやるミスである．が，気づかないとモニタの前でもったいない時間を過ごすことになる(^-^)．
- 一般に，次の二つの量はどちらが大きいか．
a2+b2
------, a * b
2
→ Simplify を使いこなす問題．
ただし，a と b が実数でないと意味がないので，
Element[{a,b}, Reals] として a と b が実数だ，と主張しておこう．
- とある液体が蒸発して減っていくとする．
1日たつと 1/10 の量に減るとしよう．
この時，0日経過，1日経過，2日，… 10日経過時の量をリストにすると
{1, 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000, 1/100000, ..., 1/1000000000, 1/10000000000}
といった感じになるが，このリストをつくれ．
→ Table を使う問題．最初と最後，つまり範囲があっているかは常に確認しよう．
- 上の問題で作ったリストをグラフにしてみよ．
さらに，そのグラフを点ではなくて線で結んだり，色を付けたりしてみよ．
→ ListPlot を使う問題．簡単なオプションは覚えておくと楽か．
オプションを Help で調べるには，??コマンド とするのは覚えているか?
- (ちょっと難しい)
上の問題で作ったグラフをみると挙動がよくわからない．
そこで同じリストを片対数グラフで描いてみよ．
対数グラフのありがたみがわかるはずである．
→ LogListPlot というコマンドを使う．詳しくは Help を見るとよいが，何も考えなくても使えるだろう．
LogLogListPlot を以前使ったときと同様に，Graphics パッケージを読み込む必要があるのに注意．
詳しくは以下を見よ.
● データのグラフを片対数で描く
… LogListPlot[リスト]
→ y 軸だけを対数にしたグラフを描く.
→ Graphics パッケージ読み込み，つまり，
Needs["Graphics`"];
を事前にしておかないと使えないので注意．
- 実数 x が 0以上1以下の数だとして，次のような関数を考える．
2x : x <= 0.5 の場合
f(x) =
2 - 2x : x > 0.5 の場合
この関数を Mathematica で実現しろ．
つまり，f[0.3] を入力すると，0.6 が，
f[0.8] を入力すると 0.4 が答えとして出てくるようにしろ，とい
うこと．
→ 関数の定義，と If を使いこなす問題．
以前使った例をみれば簡単．
- 上で定義した関数 f が正しく定義できているか，f のグラフを
x ∈ [0,1] の範囲で描け．
→ Plot を使いこなす問題．
- 上で定義した関数 f を π/4 に作用させると約 0.429 が得られ，
その 0.429 にさらに f を作用させると 0.858 が得られる．
この様に，π/4 に f を n 回作用させた結果を n= 0 .. 50 まで並べ
たリスト
{π/4, 0.42920.., 0.85840..., .... , 0.965529..} ← ちなみに，50 回目は 0.965529.. となる．
を作れ．
→ Nest を使いこなす問題．
Nest[f, π/4, n] で，初期値を π/4 として f を n 回作用
させた結果が得られる．
あとは，Table と組み合わせて…
あと，できれば関数 f の定義に //N をつけておくと楽か．
→ ただし，こういう風に Nest を使うのは計算時間が非常に無駄になる．
これを回避する方法 → 発展問題
- 上で得られたリストを(線でつないだ)グラフで描いてみよ．
関数 f について何も知らずにこのグラフをはじめて見たときに
関数 f が想像できるだろうか，考えよ．
→ ListPlot を使う問題．Mathematica としては簡単．
でも，得られたグラフは…
- 正の整数 n が素数かどうかは PrimeQ[p] というコマンドでチェックできるが，
この PrimeQ と同様の働きをする関数を自分で作れ．
多少計算時間がかかる方法でもかまわない．
→ 関数の定義 Module (複雑な方)と Do, While 等の「繰り返し」を使いこなす問題．
よ〜っ〜く考えよう．
発展問題 … 消化十分で，暇をかましている人用
- 復習問題 9 の指摘にある，
「こういう風に Nest を使うと計算時間が無駄」というのはなぜか．
- 復習問題 9 の指摘にある，
「こういう風に Nest を使うと計算時間が無駄」というのを回避する
にはどうプログラムすればよいか．
→ リストに要素を付け加えるコマンドは Append という．
これを用いて，「リストの最後の要素に f を作用させて，リストにつけ加える」
ことを繰り返す，ということができる… のを使えば．
- 復習問題 9, 10 の計算結果，グラフから f(x) を推定するには，実は
(xk, xk+1), k=1,2,...
からなるリストをプロットしてみる，という手がある．
これをやってみよ．
→ なぜなら，xk+1 = f(xk) の関係にあるのだから．
データはこの関係のサンプルがたくさん集まっているもの，と思えばよいのだ．
- 正の整数 p と p+2 がともに素数であるとき，この組を「双子素数」と呼ぶ．
双子素数を小さい方からいくつか求めてみよ．
- 双子素数 (p,p+2) に対して，
1
Σ ---
(p,p+2)が双子素数 p
を(厳密には無理だがある程度)計算してみよ．
またグラフを用いて，計算した値が真の値にどれくらい近づいたか考えてみよ．
→ この値が発散する(∞になる)ならば，双子素数は無限個ある，
ということになる．
しかし実際は…
ちなみに双子素数が無限個あるのか有限個しかないのかは未判明．
□ レポート課題 1
復習問題，発展問題をできるだけ解け．
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